Funcións.Función lineal e cuadrática.
As funcións son o obxecto matemático por excelencia. Nós estudamos unicamente o caso máis simple: a relación entre dúas magnitudes, que dá lugar ao que se denomina como función real de variable real. Isto significa que temos dúas propiedades que se definen mediante números de tal forma que os valores dunha delas (variable dependente) obtéñense dos da outra (a variable independente) facendo unha serie de operacións específicas.
Neste tema trátase de estudar:
- a definición da función e as formas de facelo
- os elementos que definen a unha función (dominio e imaxe, gráfica)
- as propiedades que as caracterizan (crecemento, extremos, simetría, puntos de corte cos eixes) desde un punto de vista cualitativo, baseándonos na información gráfica.
- o estudo da función linear ou función de proporcionalidade simple: a expresión y=ax+b, as formas de representación (táboa de valores ou significado dos parámetros) e as súas propiedades xenéricas. A gráfica dunha función linear é sempre unha recta.
- o estudo da función cuadrática: a expresión xeral, y=ax2+bx+c, a determinación do vértice para a construción dunha táboa de valores axeitada de cara á súa representación gráfica, e a relación entre as propiedades e os parámetros da ecuación, fundamentalmente o parámetro a.
- tamén estudaremos a “traslación de funcións”. A traslación horizontal e vertical, así como a traslación xenérica, enmarcadas na relación entre a parábola y=x2 e a gráfica dunha función xenérica y=a(x-h)2+k , os significados de h e k e a obtención de esta forma a partir da expresión xeral da parábola y=ax2+bx+c.
Todos estes tópicos abórdanse na presentación do tema que podedes atopar na páxina www.candaor.com, (SERVIDOR DE CONTIDOS) ou no space de xe_mendez@hotmail.com, na sección Público/matemáticas/presentacións 3º.
A presentación inclúe, incrustadas, un par de follas de cálculo que poden empregarse para o estudo da influencia dos parámetros na forma da gráfica.
Tedes tamén boletíns de exercicios para practicar na páxina www.candaor.com no “Servidor de Contidos” así como as actividades de reforzo do tema que, como sabedes, están organizadas segundo os obxectivos (esa lista de arriba) do tema.
Recórdovos tamén a utilidade do programa “graph” ou outro similar –na rede existen infinitos programas descargables similares, pero a min gústame este- para a representación gráfica de funcións.
En breve, na sección “Materiais didácticos” de candaor.com teredes máis informción e materiais.
Expresións fraccionarias e radicais.
Con este título abordamos realmente un moi necesario inicio no cálculo simbólico: ese cálculo que non se fai con números, senón con letras.
Na primeira parte tratamos as operacións alxebraicas máis correntes: a suma, resta e produto de fraccións alxébricas, un recordatorio das operacións con fraccións, pois os métodos para operar son análogos.
Na segunda parte, as operacións con radicais, son tamén un repaso das operacións con números, porque os métodos volven ser os mesmos, basicamente.
Para repasar os contidos do tema podes ver aquí a presentación
Presentación_Mat 3_Tema 10_Expresiones algebraicas_2012
e o caderno de actividades.
Actividades Mat 3º_Tema 10_Expresións fraccionarias y radicales_cas
Reforzo do tema 9, matemáticas de 3º
Avaliado o tema 9, e entregados os informes, as actividades de reforzo do tema 9: polinomios, das matemáticas de 3º, podése obter aquí en galego
Actividades de Reforzo Mat 3º Tema 09 RN1 0708
e castelán
Valor numérico, Ruffini e divisibilidade
O valor numérico do polinomio é unha das contas que é imprescindible dominar para poder traballar cos polinomios. Na práctica, é o primeiro e máis elemental dos cálculos, dos que dependen todos os demais.
Despois de ver a división ordinaria, vimos o método, ou algoritmo, de Ruffini (alguén lembra o significado da palabra “algoritmo”? Por se acaso, aquí temos unha explicación e tamén ao responsable do invento) que non é máis que un procedemento abreviado para as divisións máis sinxelas (con divisor da forma “x-a”, onde “a” é un número) particularmente sinxelo. Ollo! Hai que recordar que estamos buscando un resultado: é necesario escribir explicitamente o cociente obtido nas divisións por Ruffini.
Un problema típico é o cálculo dun parámetro que faga divisible un polinomio entre un binomio indicado. Este problema tamén se pode resolver aplicando o teorema do resto, pero cun pouco de pericia, Ruffini tamén vale para encontrar unha solución.
Aí van os vídeos.
Polinomios
Escomenzamos con este tema un bloque dedicado ao álxebra, no que veremos as expresións alxébricas máis sinxelas, polinomios, cocientes de polinomios e expresións radicais, que organizaremos en dous temas.
Os polinomios son as expresións abstractas máis sinxelas, e comezamos coas operacións máis sinxelas. Na primeira clase repasamos o que eran as expresións alxébricas comúns, monomios e polinomios, e a suma, resta e produto de polinomios. Á hora de se enfrontar á división, moitos autores de libros de texto e profesores prefiren evitarse complicacións e facer unicamente exercicios simples, deses que saen sempre con “números bonitos”. Os números bonitos son moi interesantes, porque son sinxelos. Pero a realidade non é sinxela, e as matemáticas deben servir para afrontar a realidade: temos que afrontar tamén os problemas “non sinxelos” que non se resolven con “números bonitos”.
Aquí quedan dous vídeos da división de polinomios, como a cara e a cruz dunha moeda.
Trigonometría
Xa está lista a última versión da presentación de trigonometría, que podedes ver ou descargar desde aquí.
É posible que ao descargar o arquivo e reproducilo no teu ordenador non se vexa correctamente.
Tema 7 Mat 4º Trigonometría 2_cas
Se tes problemas ou queres a versión en galego descarga o arquivo comprimido en www.candaor.com
Unha proba
Hoxe estivemos repasando diversos temas das ecuacións de segundo grao en 3ºA, e probamos a grabar iso que un vai poñendo no encerado para explicar como se poden resolver determinados exercicios e cuestións. Os resultados están aquí, xa podedes velos (menos o último: hai que maquealo un pouco)
En fin, espero que vos axude, e se o fai, xa o repetiremos.
Semellanza e razóns trigonométricas.
No cuarto curso chegamos -outra vez- a un deses puntos terribles nos que todo parece escurecerse e non ter sentido. As matemáticas modernas nacen realmente a partir do século XVI, aínda que teñan as súas raíces en épocas ben anteriores. E este tema non é unha excepción. A semellanza entre figuras xeométricas é unha transformación matemática que está na base de moitas aplicacións prácticas da vida moderna -como a realización de planos e representacións de obxectos, a creación de mapas, etcétera- pero ten a súa raíz no chamado Teorema de Tales.
Tales de Mileto foi un matemático grego do século VI antes de Cristo, e un dos fundadores da xeometría. A proporcionalidade que establece o teorema de Tales entre os segmentos correspondentes de rectas concorrentes está na base do concepto de escala, pero tamén na definición das razóns trigonométricas de ángulos agudos: seno, coseno e tanxente, e xunto co teorema de Pitágoras é o fundamento de toda a trigonometría e de boa parte da xeometría euclídea.
Neste tema recordaremos ambos teoremas e definiremos as razóns trigonométricas na súa forma elemental, aprendendo a aplicar teoremas e razóns trigonométricas á resolución de problemas xeométricos.
Que son os problemas xeométricos? Xeometría é unha palabra que procede do grego, e significa algo así como “medir a terra” ou “as medidas da terra”. Trátase de aprender a medir sen metro. Por exemplo:
- Como medirías a altura da fachada do edificio onde vives?
- Como podes calcular a distancia a un obxecto distante cunha medida sinxela cerca de tí?
- Como se calcula a altura das montañas?
- A que distancia está a Lúa e como se sabe?
- Como fixo Eratóstenes para medir a circunferencia terra cun garabullo (e equivocarse en menos dun 1%) ?
Ecuacións de primeiro grao
Ben, despois destas agradables vacacións de Nadal temos que volver a empezar o curso, e o tema que nos toca en terceiro e o de “ecuacións e sistemas de primeiro grao”.
As ecuacións de primeiro grao son coñecidas desde antigo: xa no século XVI aC. os exipcios resolvían problemas cotiánss que tiñan que ver co reparto de víveres, de colleitas e de materiais que eran equivalentes a resolver ecuacións alxebraicas simples de primero grao. Pero o formalismo alxebraico moderno éralles descoñecido, de maneira que usaban un método iterativo aproximado, que ven sendo algo así como resolver por tanteo.
Diofanto de Alexandría -matemático grego do século III- tratou o tema das ecuacións de primeiro e segundo grao e foi un dos primeiros en empregar símbolos para representar as ecuacións. O nome de ecuacións diofánticas alude ás ecuacións que teñen como solución números enteiros ou naturais, é dicir: as solucións máis simples.
As ecuacións de priemiro e segundo grao represéntanse na súa forma moderna a partir dos séculos XV e XVI, e a partir dese momento constitúen un dos elelementos triviais, máis simples, das matemáticas.
Do que se trata, máis que de aprender o algoritmo de solución, que xa vos é familiar desposi de velo en segundo curso, é de aprender a utilizar as ecuacións para resolver problemas de diversos tipo, relacionados coa experiencia ordinaria, as outras ciencias ou diversos campos da vida e do saber. Para iso é imprescindible non só saber o método, senón que é o que estamos facendo cando resolvemos unha ecuación, e para iso temos que
1. Analizar que información temos e
2. saber que información queremos obter
e ser capaces de
3. Encontrar unha relación entre o que sabemos e o que queremos saber.
Nin máis, nin menos.
Nova presentación de xeometría
A nova presentación do tema 5, figuras e corpos xeométricos, está xa dispoñible en www.xerardomendez.eu na forma de pdf ou como presentación de openoffice., ainda que neste caso, o enlace non vai directamente á presentación, senón a un arquivo comprimido. Para ver a presentación hai que baixar o arquivo e descomprimilo.
Para atopalo, debes ir a educación/materiais/matemáticas 3/tema 5/ ir a descargas e seleccionar o arquivo.
Por motivos que descoñezo, o exportador de pdf da versión 3.3 de openoffice non funciona como debería e hai un par de gráficos que non se ven de forma axeitada na versión en pdf.
Ainda que os erros do pdf non son importantes, non deixa de ser fastifioso. Miraremos de solucionar isto proximamente.
